Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標；
（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

故拋物線的解析式：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：當P點在x軸上，P，A，B三點在一條直線上時，點P到點A、點B的距離之和最短，

此時x=﹣ =1，

故P（1，0）

（3）

解：如圖所示：

拋物線的對稱軸為：x=﹣ =1，設M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；

當m=﹣6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1， ）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．

【解析】（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可；（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知，直線l與x軸的交點，即為符合條件的P點；（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．