Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D．

（1）動手操作：利用尺規作⊙O，使⊙O經過點A、D，且圓心O在AB上；并標出⊙O與AB的另一個交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合應用：在你所作的圖中，

①判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

②若AB=6，BD=2，求線段BD、BE與劣弧所圍成的圖形面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析（2）①相切；②2﹣π

【解析】

試題分析：（1）根據題意得：O點應該是AD垂直平分線與AB的交點；

（2）①由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；

②設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為： =2﹣π”．

試題解析：（1）如圖1；

（2）①如圖1，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC與⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；

（2）如圖2，設⊙O的半徑為r，則OB=6﹣r，又BD=2，

在Rt△OBD中，

OD2+BD2=OB2，

即r2+（2 ）2=（6﹣r）2，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∴∠DOB=60°，

∴=，

=ODBD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為： =2﹣．