Question

【題目】已知：如圖，正方形ABCD中，點F是對角線BD上的一個動點.

（1）如圖1，連接AF，CF，直接寫出AF與CF的數量關系；

（2）如圖2，點E為AD邊的中點，當點F運動到線段EC上時，連接AF，BE相交于點O.

①請你根據題意在圖2中補全圖形；

②猜想AF與BE的位置關系，并寫出證明此猜想的思路；

③如果正方形的邊長為2，直接寫出AO的長.

Answer 1

【答案】（1）AF=CF（2）① 圖形見解析②③.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的對稱性即可得結論；（2）①根據題意，補全圖形即可；②AF⊥BE，由四邊形ABCD是正方形，可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.進而可得ΔADF≌ΔCDF.從而得到1＝∠2；由E為正方形ABCD的AD邊的中點，可證ΔABE≌ΔDCE.從而得到∠3＝∠4；由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，進而可得∠AOE=90°，即AF⊥BE.③根據勾股定理可得BE=，因AF⊥BE，根據,即可求得AO的長.

試題解析：

（1）解：AF=CF.

（2）解：① 補全圖形：

②.

證明思路如下：

(i)由四邊形ABCD是正方形，

可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.

進而可得≌.從而得到1＝∠2.

(ii)由E為正方形ABCD的AD邊的中點，可證≌.

從而得到∠3＝∠4.

(iii)由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，進而可得∠AOE=90°.

即.

③.