Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿邊運動，到點停止，過點作交于點，把繞點逆時針方向旋轉得到 ，點落在線段上，設點的運動時間為 (秒)

(1)求的長，(用含的代數式表示)

(2)求點在的平分線上時的長

(3)設與重合部分圖形的周長為，當點與點、均不重合時，求與之間的函數關系

(4)在點運動的同時，點從點出發，以每秒9個單位長度的速度沿折線運動，當點停止運動時，點也隨之停止，直接寫出點在直線上時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（4）或.

【解析】

（1）由，可得，即，推出，，，由此即可解決問題．

（2）如圖2中，作于，于，交于，連接．根據列出方程即可解決問題

（3）分兩種情形分別討論即可：①當時，重疊部分是；②當時，重疊部分是四邊形．

（4）分兩種情形分別列出方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴.

（2）如圖2中，作于，于，交于，連接.

由，，可得，，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴時，點在的平分線上.

（3）①如圖3 中，作于，交于．

易知，，

當點在上時，，

∴，

∴，

當時，重疊部分是，此時的周長為.

②當時，重疊部分是四邊形.

四邊形的周長

.

綜上所述

(4)如圖5中，作于，設交于交于.

易知，，，

.

由題意得或.

解得或.

∴或時，點在直線上.