Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，連結(jié)DP，求DP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)PD＝BC時(shí)，∠PDA=                  ；
（3）當(dāng)PC=   時(shí)，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上，此時(shí)□DPBQ的面積= ．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∴BC＝，AC＝3．
（1）  如圖，作DF⊥AC，垂足為F，

∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，
∴DP＝＝．
（2）15°或75°
（3），

（1）作DF⊥AC，由AB的長(zhǎng)求得BC、AC的長(zhǎng)．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長(zhǎng)．則由勾股定理即可求得DP的長(zhǎng)．
（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．
（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊形，求得面積．