Question

14、如圖，自△ABC內的任一點P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE；
證明：AE=AF．

Answer 1

分析：根據(jù)四邊形的兩條對角線互相垂直，則其兩組對邊的平方和相等，PA²+BF²=PB²+AF²；PB²+CD²=PC²+BD²，PC²+AE²=PA²+CE²；
代入BD=BF，CD=CE得：AE=AF．

解答：證明：
如圖，若四邊形的兩條對角線互相垂直，則其兩組對邊的平方和相等．
連PA，PB，PC，
則有PA²+BF²=PB²+AF²；
PB²+CD²=PC²+BD²，
PC²+AE²=PA²+CE²；
三式相加得AE²+CD²+BF²=AF²+CE²+BD²，
利用條件BD=BF，CD=CE，
代入上式，得AE=AF．

點評：本題考查了勾股定理的正確運用，本題中準確的計算AE²+CD²+BF²=AF²+CE²+BD²是證明AE=AF的關鍵．