Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，點E是射線DA上的一個動點，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉一個角α（α=∠BCD），得到對應線段CF．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）求線段DF的長度的最小值；

（3）如圖2，連接BD、EF．BD交EC、EF于點P、Q．當△EPQ是直角三角形時，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)DF的最小值是12；(3)DE=6或6.

【解析】

（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，結合DC＝BC、CE＝CF即可證明△BCE≌△DCF；

（2）當點E運動至點E′時，由DF＝BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP＝90°時，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根據AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；

②∠EPQ＝90°時，由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE．

（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE．

∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=BC．

在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS）；

（2）如圖1．

當點E運動至點E′時，DF=BE′，此時DF最小．在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴設AE′=x，則BE′=2x，∴AB=x=6，則AE′=6，∴DE′=6+6，DF=BE′=12．

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．

①當∠EQP=90°時，如圖2①．

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴△ECF≌△BCD，∴∠CBD=∠CEF．

∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°．

∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6；

②當∠EPQ=90°時，如圖2②．

∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，∴EC與AC重合，∴DE=6．