Question

【題目】（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=3，OC=5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：

①旋轉角的度數；

②線段OD的長；

③∠BDC的度數．

（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC=90°？請給出證明．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②OD=OB=4；③150°；（2）當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°．

【解析】

試題分析：（1）①根據等邊三角形的性質得BA=BC，∠ABC=60°，再根據旋轉的性質得∠OBD=∠ABC=60°，于是可確定旋轉角的度數為60°；

②由旋轉的性質得BO=BD，加上∠OBD=60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以OD=OB=4；

③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO=60°，再利用旋轉的性質得CD=AO=3，然后根據勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；

（2）根據旋轉的性質得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD=OB，然后根據勾股定理的逆定理，當CD2+OD2=OC2時，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°．

解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=60°，

∴旋轉角的度數為60°；

②∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=60°，

∴△OBD為等邊三角形；

∴OD=OB=4；

③∵△BOD為等邊三角形，

∴∠BDO=60°，

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵32+42=52，

∴CD2+OD2=OC2，

∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°．理由如下：

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，

∴△OBD為等腰直角三角形，

∴OD=OB，

∵當CD2+OD2=OC2時，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴OA2+2OB2=OC2，

∴當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°．