Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，的平分線交邊BC于點E，于點H，連接CH并延長交邊AB于點F，連接AE交CF于點O，給出下列命題：

，，其中正確命題的序號　　

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形DAE，求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正確；

（2）設DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正確；

（3）通過角的度數求出△AOH和△OEH是等腰三角形，從而得到（3）正確；

（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，從而得到（4）不正確．

（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°．

∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°．

∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD．

∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）結論正確；

（2）設DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）結論不正確；

（3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°．

∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正確；

（4）∵AH=DH，CD=CE．在△AFH與△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH．在Rt△ABE與Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（4）不正確．

故選D．