Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P為線段AB上任意一點(diǎn)，延長PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC為邊作□PCQE，求對角線PQ的最小值   ．

Answer 1

7．

解析試題分析：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD=DE，可得，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案；
試題解析：如圖，

設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ ，
∴G是DC上一定點(diǎn)，
作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 ，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長最小，即為7．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).