Question

如圖，已知正方形ABCD，點E在BC邊上，將△DCE繞某點G旋轉(zhuǎn)得到△CBF，點F恰好在AB邊上．
（1）請畫出旋轉(zhuǎn)中心G （保留畫圖痕跡），并連接GF，GE；
（2）若正方形的邊長為2a，當(dāng)CE=

a

時，S_△FGE=S_△FBE；當(dāng)CE=

2a+ 2 a

2

或EC=

2a- 2 a

2

 時，S_△FGE=3S_△FBE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，點C與點B是對應(yīng)點，點E點F是對應(yīng)點，分別作線段BC、EF的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心點G．
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出FG=EG，∠FGE=90°，設(shè)EC=x，利用勾股定理及三角形的面積公式建立等量關(guān)系，就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖：分別作線段BC、EF的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心點G．

（2）∵G是旋轉(zhuǎn)中心，且四邊形ABCD是正方形，
∴FG=EG，∠FGE=90°
∵S_△FGE=

FG2

2

，且由勾股定理，得2FG²=EF²，
∴S_△FGE=

EF2

4

．
設(shè)EC=x，則BF=x，BE=2a-x，在Rt△BEF中，由勾股定理，得
EF²=x²+（2a-x）²，
∴S_△FGE=

x2+(2a-x)2

4

．
∵S_△FBE=

x(2a-x)

2

，
①當(dāng)S_△FGE=S_△FBE時，則

x2+(2a-x)2

4

=

x(2a-x)

2

，
解得：x=a；
∴EC=a．
②當(dāng)S_△FGE=3S_△FBE時，則

x2+(2a-x)2

4

=

x•(2a-x)

2

•3，
∴2x²-4ax+a²=0，
解得：x=

2a+ 2 a

2

或x=

2a- 2 a

2

．
∴EC=

2a+ 2 a

2

或EC=

2a- 2 a

2

．
故答案為：a； 

2a+ 2 a

2

或EC=

2a- 2 a

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積及勾股定理的運(yùn)用．