Question

【題目】已知拋物線yn＝﹣(x﹣an)2+bn，(n為正整數，且0≤a1＜a2＜…≤an)與x軸的交點為

A(0，0)和An(n，0)，n＝Cn﹣1+2，當n＝1時，第1條拋物線y1＝﹣(x﹣a1)2+b1與x軸的交點為A(0，0)和A1(2，0)，其他依此類推.

(1)求a1，b1的值及拋物線y2的解析式.

(2)拋物線的頂點B坐標為(_____，______)；依此類推，第n+1條拋物線yn+1的頂點Bn+1坐標為(____，_____)所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是______.

(3)探究下結論：

①是否存在拋物線yn，使得△AAnBn為等腰直角三角形？若存在請求出拋物線的表達式；若不存在，請說明理由.

②若直線x＝m(m＞0)與拋物線yn分別交于C1，C2，…，Cn則線段C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn的長有何規律？請用含有m的代數式表示.

Answer 1

【答案】(1)a1=1，a2=1，y2＝﹣(x﹣2)2+4；(2)n，n2；n+1，(n+1)2；y＝x2；(3)①存在，y＝﹣(x﹣1)2+1；②Cn﹣1Cn=2m.

【解析】

(1)A1(2，0)，則C1＝2，則C2＝2+2＝4，將點A、A1的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，則點A2(4，0)，將點A、A2的坐標代入拋物線表達式，同理可得：a2＝2，b2＝4，即可求解；

(2)同理可得：a3＝3，b3＝9，故點B的坐標為(n，n2)，以此推出：點B[(n+1，(n+1)2]，故所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是：y＝x2，即可求解；

(3)①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn2＝2ABn2，即(2n)2＝2(n2+n4)，即可求解；

②yCn﹣1＝﹣(m﹣n+1)2+(n﹣1)2，yCn＝﹣(m﹣n)2+n2，Cn﹣1n＝yCn﹣yCn﹣1，即可求解.

解：(1)A1(2，0)，則C1＝2，則C2＝2+2＝4，

將點A、A1的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

則點A2(4，0)，將點A、A2的坐標代入拋物線表達式，同理可得：a2＝2，b2＝4；

故y2＝﹣(x﹣a2)2+b2＝﹣(x﹣2)2+4；

(2)同理可得：a3＝3，b3＝9，故點B的坐標為(n，n2)，

以此推出：點B[(n+1，(n+1)2]，

故所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是：y＝x2，

故答案為：(n，n2)；[(n+1，(n+1)2]；y＝x2；

(3)①存在，理由：

點A(0，0)，點An(2n，0)、點Bn(n，n2)，

△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn2＝2ABn2，

即(2n)2＝2(n2+n4)，解得：n＝1(不合題意的值已舍去)，

拋物線的表達式為：y＝﹣(x﹣1)2+1；

②yCn﹣1＝﹣(m﹣n+1)2+(n﹣1)2，

yCn＝﹣(m﹣n)2+n2，

Cn﹣1Cn＝yCn﹣yCn﹣1＝﹣(m﹣n)2+n2+(m﹣n+1)2﹣(n﹣1)2＝2m.