Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成
和兩個三角形（如圖2所示）。將紙片沿直線方向平移（點始終在同一直線上），當點與點B重合時，停止平移。在平移的過程中，交于點E，與分別交于點F、P。

（1）當平移到如圖3所示位置時，猜想與的數量關系，并證明你的猜想；
（2）設平移距離為x，和重復部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x，使得重復部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）。
，
又因為∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
 ，
，
，
。
（2）因為在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
所以由勾股定理，得AB=10，
即，
又因為，
所以，
所以，
，

所以，，
所以，
 ，
，
，
而，
所以。
（3）存在，當時，即，
整理，得，解得，
。