Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）直線y=﹣x+n與該拋物線在第四象限內交于點D，與線段BC交于點E，與x軸交于點F，且BE=4EC．

①求n的值；

②連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點G，△AGF與△CGD是否全等？請說明理由；

（3）直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N（點M在點N的左側），點 M關于y軸的對稱點為點M'，點H的坐標為（1，0）．若四邊形OM'NH的面積為．求點H到OM'的距離d的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①n=﹣2；②△AGF與△CGD全等；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，可得拋物線的解析式；

（2）①過點E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，根據平行線分線段成比例定理，可得BE'=4OE'，設點E的坐標為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，根據OB=2，可得x的值，再根據直線BC的解析式即可得到E的坐標，把E的坐標代入直線y=﹣x+n，可得n的值；

②根據F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根據點D的坐標為（1，﹣3），點C的坐標為（0，﹣3），可得CD∥x軸，CD=1，再根據∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；

（3）根據軸對稱的性質得出OH=1=M'N，進而判定四邊形OM'NH是平行四邊形，再根據四邊形OM'NH的面積，求得OP的長，再根據點M的坐標得到PM'的長，Rt△OPM'中，運用勾股定理可得OM'的值，最后根據OM'×d=，即可得到d的值．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式；

（2）①如圖，過點E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，∴，∵BE=4EC，∴BE'=4OE'，設點E的坐標為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，∵B（2，0），∴OB=2，即x+4x=2，∴x=，∵拋物線與y軸交于點C，∴C（0，﹣3），設直線BC的解析式為y=kx+b'，∵B（2，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直線BC的解析式為，當x=時，y=﹣，∴E（，﹣），把E的坐標代入直線y=﹣x+n，可得﹣+n=﹣，解得n=﹣2；

②△AGF與△CGD全等．理由如下：

∵直線EF的解析式為y=﹣x﹣2，∴當y=0時，x=﹣2，∴F（﹣2，0），OF=2，∵A（﹣1，0），∴OA=1，∴AF=2﹣1=1，由，解得：或，∵點D在第四象限，∴點D的坐標為（1，﹣3），∵點C的坐標為（0，﹣3），∴CD∥x軸，CD=1，∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，∴△AGF≌△CGD；

（3）∵拋物線的對稱軸為x= =，直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N，∴點M、N關于直線x=對稱，設N（t，m），則M（1﹣t，m），∵點 M關于y軸的對稱點為點M'，∴M'（t﹣1，m），∴點M'在直線y=m上，∴M'N∥x軸，∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，∵H（1，0），∴OH=1=M'N，∴四邊形OM'NH是平行四邊形，設直線y=m與y軸交于點P，∵四邊形OM'NH的面積為，∴OH×OP=1×m=，即m=，∴OP=，當=時，解得x1=﹣，x2=，∴點M的坐標為（﹣，），∴M'（，），即PM'=，∴Rt△OPM'中，OM'==，∵四邊形OM'NH的面積為，∴OM'×d=，∴d=．