Question

【題目】已知：如圖，做的平分線，在的兩邊上分別截取，再以點為圓心，線段長為半徑畫弧，交于點，連接.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）尺規作圖：作線段的垂直平分線，分別交于點,于點，連接（不寫做法，保留作圖痕跡）；

（3）當時，判斷的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△PBE是直角三角形，見解析.

【解析】

（1）根據四邊相等的四邊形是菱形即可證明．

（2）利用尺規周長線段OA的垂直平分線即可．

（3）結論：△PBE是直角三角形．想辦法證明∠PBE=90°即可．

（1）證明：∵OP是∠AOB的平分線，

∴∠AOP=∠BOP，

∵OA=OB，OP=OP，

∴△AOP≌△BOP（SAS）

∴AP=BP，

∵OA=AP，

∴OA=OB=BP=AP，

∴四邊形OAPB是菱形．

（2）解：如圖所示．

（3）解：結論：△PBE是直角三角形．

理由：連接AE，∵EF是線段OA的垂直平分線，

∴AE=OE，

∵PB=PA，∠EPB=∠EPA，PE=PE，

∴△AEP≌△BEP（SAS），

∴AE=BE，

∴OE=BE，

∴∠BOE=∠OBE，

當∠AOB=60°時，∠BOE=30°，

∴∠OBE=30°，

∵OB=BP，

∴∠BPO=∠BOE=30°，

∴∠OBP=180°-2∠BPO=180°-2×30°=120°，

∴∠PBE=∠OBP-∠OBE=120°-30°=90°，

∴△PBE是直角三角形．