Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．

（1）當a＝1時，

①拋物線G的對稱軸為x＝　 　；

②若在拋物線G上有兩點（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，則m的取值范圍是　 　；

（2）拋物線G的對稱軸與x軸交于點M，點M與點A關于y軸對稱，將點M向右平移3個單位得到點B，若拋物線G與線段AB恰有一個公共點，結合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①1；②m＞2或m＜0；（2）﹣＜a≤﹣或a＝4．

【解析】

（1）當a＝1時，①根據二次函數一般式對稱軸公式，即可求得拋物線G的對稱軸；

②根據拋物線的對稱性求得關于對稱軸的對稱點為，再利用二次函數圖像的增減性即可求得答案；

（2）根據平移的性質得出、，由題意根據函數圖象分三種情況進行討論，即可得解．

解：（1）①∵當a＝1時，拋物線G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）為：

∴拋物線G的對稱軸為；

②畫出函數圖象：

∵在拋物線G上有兩點（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，，

∴①當時，隨的增大而增大，此時有；②當時，隨的增大而減小，拋物線G上點關于對稱軸的對稱點為，此時有．

∴m的取值范圍是或；

（2）∵拋物線G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的對稱軸為x＝1，且對稱軸與x軸交于點M

∴點M的坐標為（1，0）

∵點M與點A關于y軸對稱

∴點A的坐標為（﹣1，0）

∵點M右移3個單位得到點B

∴點B的坐標為（4，0）

依題意，拋物線G與線段AB恰有一個公共點

把點A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得；

把點B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得；

把點M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4．

根據所畫圖象可知拋物線G與線段AB恰有一個公共點時可得：或．

故答案是：（1）①1；②m＞2或m＜0；（2）或