Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數拋物線過點和，對稱軸為直線．

（1）求二次函數的表達式和頂點的坐標．

（2）將拋物線在坐標平面內平移，使其過原點，若在平移后，第二象限的拋物線上存在點，使為等腰直角三角形，請求出拋物線平移后的表達式，并指出其中一種情況的平移方式．

Answer 1

【答案】（1），頂點的坐標是；（2）平移后拋物線表達式是，，；原拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位可得

【解析】

（1）可以采用待定系數法求二次函數的解析式，因為點A(-1,0)、C(0,-2)在函數圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點的坐標為(3,0),列方程組即可求得解析式;

（2）根據平移后的圖象過原點，所以設y =﹣x+bx，使拋物線第二象限上的點P與AB組成的△ABP是等腰直角三角形，所以分三種情況來討論，分別求出三種情況的解析式．

（1）由題意，得

，解得

拋物線的表達式為；

當時，，頂點的坐標是

（2）平移后拋物線過原點，可設表達式是，分三種情況：

①當為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，做軸于，

，

，，

，又，，

，，

，所以點坐標是，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達式是．

②當為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，

同上可得，，，

所以點坐標是，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達式是．

③當為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，

這時是的中點，因為，，所以，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達式是．這時拋物線頂點是，

可將原拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位

綜上所述，平移后拋物線表達式是，，；

原拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位可得