Question

如圖1，在?ABCD中，AO⊥BC，垂足為O，已知∠ABC=60°，BO=2，AO=2

3

．
（1）求線段AB的長；
（2）如圖2，點E為線段AB的中點，過點E的直線FG與CB的延長線交于點F，與射線AD交于點G，連接OE，以OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF′，記直線EF′與射線AD的交點為H．
①當點G在點H的左側時，求證：△AEG∽△AHE；
②若HG=6，求AG的長．

Answer 1

分析：（1）直接利用勾股定理可求AB；（2）①由于AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，易證△BOE是等邊三角形，那么∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，于是OF′∥AB，根據(jù)平行線的性質可知∠AEH=∠EF′O，易證△AEG∽△AHE；②由①中，△AEG∽△AHE可得AE：AH=AG：AE，
設AG=x，再分情況討論，一種是點H在點G的右側時；另一種是點H在點G的左側時，分別計算即可．

解答：解：（1）∵AO⊥BC，BO=2，AO=2

3

，
∴AB=

BO2+AO2

=

4+12

=4；

（2）①證明：AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，
∴△BOE是等邊三角形，
∴∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，
∴OF′∥AB，
∴∠AEH=∠EF′O，
∴∠AEH=∠AGE，∠EAG=∠EAG，
∴△AEG∽△AHE；
②由①知△AEG∽△AHE，
∴AE：AH=AG：AE，
即AE²=AH•AG，設AG=x，
當點H在點G的右側時，
∴4=x（x+6），
解得x =-3±

13

取x=-3+

13

；
當點H在點G的左側時，
∴4=x（x-6），
解得x=3±

13

，取x=3+

13

．

點評：本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線的判定和性質、分情況討論、解一元二次方程．