Question

【題目】如圖，O是平面直角坐標系的原點．在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，1），B（3，1），動點P從O點出發，沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動．設P點運動的時間為t秒（0＜t＜2）．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；

（2）過P作PD⊥OA于D，以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，⊙P在點P的右側與x軸交于點Q．

①則P點的坐標為_____，Q點的坐標為_____；（用含t的代數式表示）

②試求t為何值時，⊙P與四邊形OABC的兩邊同時相切；

③設△OPD與四邊形OABC重疊的面積為S，請直接寫出S與t的函數解析式．

Answer 1

【答案】 （2t，0） （（2+）t，0）

【解析】分析：（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）①先用含t的代數式表示出OP，再利用銳角三角函數表示出PD，進而表示出OQ即可得出結論；

②分⊙P與AB相切時，⊙P與BC相切時兩種情況，利用直線和圓相切的性質建立方程求解即可；

③分0＜t≤1，1＜t≤，＜t＜2三種情況，利用幾何圖形的面積公式即可得出結論．

詳解：（1）因為拋物線經過原點O，所以設拋物線解析式為y=ax2+bx．

又因為拋物線經過A（1，1），B（3，1），

所以有解得，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+x

（2）①由運動知，OP=2t，

∴P（2t，0），

∵A（1，1），

∴∠AOC=45°，

∵PD⊥OA，

∴PD=OPsin∠AOC=t，

∵PD為半徑作⊙P，⊙P在點P的右側與x軸交于點Q，

∴PQ=PD=t，

∴OQ=OP+PQ=2t+t=（2+）t

∴Q（（2+）t，0），

故答案為（2t，0），（（2+）t，0）；

②當⊙P與AB相切時， t=1，所以t=；

當⊙P與BC相切時，即點Q與點C重合，所以（2+）t=3，解得t=．

（3）①當0＜t≤1，如圖1，重疊部分的面積是S△OPQ，

過點A作AF⊥x軸于點F，

∵A（1，1），

在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，

在Rt△OPQ中，OP=2t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=2tcos45°=t，

∴S=（t）2=t2，

②當1＜t≤，如圖2，設PQ交AB于點G，

作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，

則四邊形OAGP是等腰梯形，PH=GH=AF=1，

重疊部分的面積是S梯形OAGP．

∴AG=FH=OP﹣PH﹣OF=2t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（2t+2t﹣2）×1=2t﹣1．

③當＜t＜2，如圖3，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，

重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．

因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=2t，

∴CN=PC=OP﹣OC=2t﹣3，

∴BM=BN=1﹣（2t﹣3）=4﹣2t，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣2t）2=﹣2t2+8t﹣．

即：S=．