Question

【題目】已知關于x的一元二次方程2x2+（a+4）x+a=0．

（1）求證：無論a為任何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；

（2）拋物線與x軸的一個交點的橫坐標為，其中a≠0，將拋物線C1向右平移個單位，再向上平移個單位，得到拋物線C2．求拋物線C2的解析式；

（3）點A（m，n）和B（n，m）都在（2）中拋物線C2上，且A、B兩點不重合，求代數式2m3﹣2mn+2n3的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=2x2﹣3．（3）．

【解析】

試題分析：（1）先求出判別式的值，根據△＞0時，方程有兩個不相等的實數根，即可得出結論；

（2）將點（，0）代入拋物線C1解析式，得出a的值，從而確定C1解析式，根據平移的規律可得出拋物線C2的解析式；

（3）將點A（m，n）和B（n，m）代入拋物線C2的解析式，通過整理、化簡可得出代數式2m3﹣2mn+2n3的值．

（1）證明：∵△=（a+4）2﹣4×2a=a2+16，

而a2≥0，

∴a2+16＞0，即△＞0．

∴無論a為任何實數，此方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵當時，y=0，

∴2×（）2+（a+4）×+a=0，

∴a2+3a=0，即a（a+3）=0，

∵a≠0，

∴a=﹣3．

∴拋物線C1的解析式為y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣，

∴拋物線C1的頂點為（﹣，﹣），

∴拋物線C2的頂點為（0，﹣3）．

∴拋物線C2的解析式為y=2x2﹣3．

（3）∵點A（m，n）和B（n，m）都在拋物線C2上，

∴n=2m2﹣3，m=2n2﹣3，

∴n﹣m=2（m2﹣n2），

∴n﹣m=2（m﹣n）（m+n），

∴（m﹣n）[2（m+n）+1]=0，

∵A、B兩點不重合，即m≠n，

∴2（m+n）+1=0，

∴m+n=﹣，

∵2m2=n+3，2n2=m+3，

∴2m3﹣2mn+2n3=2m2m﹣2mn+2n2n=（n+3）m﹣2mn+（m+3）n=3（m+n）=．