Question

【題目】如圖，直線與拋物線分別交于點A、點B，且點A在y軸上，拋物線的頂點C的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是線段AB上一動點，射線軸并與直線BC和拋物線分別交于點M、N，過點P作軸于點E，當PE與PM的乘積最大時，在y軸上找一點Q，使的值最大，求的最大值和此時Q的坐標；

(3)在拋物線上找一點D，使△ABD為直角三角形，求D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，Q點坐標為；（3） 點坐標為

【解析】

（1）直線與拋物線分別交于點A、點B，求出點A的坐標，根據拋物線的頂點C的坐標為．設出拋物線的解析式，把點A的坐標代入即可求出拋物線的解析式.

(2) 聯立，求出點B的坐標，用待定系數法求出BC的解析式為，設，則，進而表示出，根據二次函數的性質即可求出它的最大值，此時，即可求出的最大值以及此時Q的坐標.

(3)根據△ABD為直角三角形，分成三種情況進行討論即可.

(1) 由題意得：

,

設拋物線解析式為

將點代入得：

解得：,

,

.

(2) 聯立解得：或

即點的坐標為

設的解析式為，代入和得：

解得：

∴BC的解析式為

設，則

，

∴，即

∵C、P在y軸同側

∴Q在PC延長線上時，最大，

此時，Q為直線PC與y軸的交點，

由和得直線PC的解析式為：

∴Q點坐標為

(3) 點坐標為