Question

（2011•盤錦）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為AD、AB的中點，連接DF、CE，DF與CE交于點H，則下列結論：①DF⊥CE；②DF=CE；③

DE

CE

=

HD

CD

；④

DE

DC

=

HD

HE

．其中正確結論的序號有

①②③

．

Answer 1

分析：利用正方形的性質和已知條件可判定Rt△DAF≌Rt△DCE，有全等可判斷①②是否正確，再利用相似三角形的判定方法證明△DHE∽△DAF，由相似三角形的性質可判斷③④是否正確，進而可知正確結論的序號．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠ADC=∠DCB=90°，
∵點E、F分別為AD、AB的中點，
∴DE=AE，
∴Rt△DAF≌Rt△DCE，
∴DF=CE，故②正確；
∠DEC=∠DFA，
∵∠DFA+∠FDA=90°，
∴∠DEC+∠FDA=90°，
∴∠DHE=90°，
即DF⊥CE，故①正確；
∵∠EDH=∠FDA，
∠A=∠DHE=90°，
∴△DHE∽△DAF，
∵

DH

AD

=

DE

DF

，
∵AB=BC=CD=DA，DF=CE，
∴

DE

CE

=

HD

CD

，故③正確；
∵

DE

DC

=

1

2

，

HD

HE

=

DA

AF

=

2

1

，
∴

DE

DC

≠

HD

HE

，故④不正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查了正方形的性質：四條邊相等，四個角都是直角和全等三角形的判定以及全等三角形的性質；同時還考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性質；難度不大，綜合性不小．是一道考查學生基本能力不錯的題目．