Question

【題目】（本題滿分10分） 若兩個二次函數圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“兄弟二次函數”．

（1）請寫出兩個為“兄弟二次函數”的函數；

（2）已知關于x的二次函數y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經過點A（1，1），若y1+y2與y1為“兄弟二次函數”，求函數y2的表達式，并直接寫出當0≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，頂點坐標相同，a符號相同3分；（2）y2＝5x2－10x＋5，y2的最大值為20．

【解析】試題分析：（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數作為二次項的系數，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數”的函數表達式即可．

（2）由y1的圖象經過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據y1+y2與y1為“同簇二次函數”就可以求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，在利用二次函數的性質就可以解決問題．

解：（1）設頂點為（h，k）的二次函數的關系式為y=a（x﹣h）2+k，

當a=2，h=3，k=4時，

二次函數的關系式為y=2（x﹣3）2+4．

∵2＞0，

∴該二次函數圖象的開口向上．

當a=3，h=3，k=4時，

二次函數的關系式為y=3（x﹣3）2+4．

∵3＞0，

∴該二次函數圖象的開口向上．

∵兩個函數y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，

∴兩個函數y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數”．

∴符合要求的兩個“同簇二次函數”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．

（2）∵y1的圖象經過點A（1，1），

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．

整理得：m2﹣2m+1=0．

解得：m1=m2=1．

∴y1=2x2﹣4x+3

=2（x﹣1）2+1．

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=（a+2）x2+（b﹣4）x+8

∵y1+y2與y1為“同簇二次函數”，

∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1

=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．

其中a+2＞0，即a＞﹣2．

∴．

解得：．

∴函數y2的表達式為：y2=5x2﹣10x+5．

∴y2=5x2﹣10x+5

=5（x﹣1）2．

∴函數y2的圖象的對稱軸為x=1．

∵5＞0，

∴函數y2的圖象開口向上．

①當0≤x≤1時，∵函數y2的圖象開口向上，

∴y2隨x的增大而減小，

∴當x=0時，y2取最大值，最大值為5×（0﹣1）2=5，

②當1≤x≤3時，∵函數y2的圖象開口向上，

∴y2隨x的增大而增大，

∴當x=3時，y2取最大值，

最大值為5（3﹣1）2=20．

綜上所述：當0≤x≤3時，y2的最大值為20．