Question

【題目】已知△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F，若，如圖①.

(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；

(2)設AE與DF相交于點M，如圖②，AF＝2FC＝4，求AM的長．

Answer 1

【答案】(1)等腰三角形 (2)

【解析】(1)、易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解題；(2)、連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根據AE長度即可解題．

(1)等腰三角形．

證明：∵AC，AB，BC是⊙O的切線， ∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.

∵＝，∴∠EOF＝∠EOD， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形；

(2)∵AC＝AB，CE＝BE， ∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，∵AF＝AD，

∴FM＝DM，AE⊥DF，∴AE過圓心O，DF∥BC，∴AF∶AC＝DF∶BC，即4∶6＝DF∶4，

∴DF＝，∴FM＝， ∴AM＝＝.