定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿(mǎn)足AC2=BC•AB，則稱(chēng)點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．
（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；
（2）求出線段AD的長(zhǎng)．
解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。∴AD=BD，BC=BD。
∴△ABC∽△BDC。∴
，即
。∴AD2=AC•CD。
∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)。
（2）由（1）AD2=AC•CD，即AD2=AC•（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=。
解得AD=
（舍去負(fù)值）。
∴AD=
。
解析試題分析：（1）判斷△ABC∽△BDC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得出答案。
（2）根據(jù)（1）列出方程即可求出AD的長(zhǎng)度。
優(yōu)百分課時(shí)互動(dòng)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．
（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F(xiàn)是△DEF邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似（要求寫(xiě)出2個(gè)符合條件的三角形，并在圖中連結(jié)相應(yīng)線段，不必說(shuō)明理由）．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當(dāng)
，BP′=
時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求證：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；
（i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求
的值；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，并在橫線上寫(xiě)恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容。圖中各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(1，0)，B(6，0)，C(1，3)，D(6，2)。線段AB上有一點(diǎn)M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1。求出點(diǎn)M的坐標(biāo)并證明你的結(jié)論。
解：M（ ， ）
證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAM=∠DBM= 度。
∵CA=AM=3，DB=BM=2，∴∠ACM=∠AMC（ ），∠BDM=∠BMD（同理），
∴∠ACM=
(180°－ ) ＝45°。 ∠BDM＝45°(同理)。
∴∠ACM＝∠BDM。
在△ACM與△BDM中，
，
∴△ACM∽△BDM（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）。
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
（2013年四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.
（1）求證:△APB∽△PEC;
（2）若CE＝3,求BP的長(zhǎng).
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
如下4個(gè)圖中，不同的矩形ABCD，若把D點(diǎn)沿AE對(duì)折，使D點(diǎn)與BC上的F點(diǎn)重合；
（1）圖①中，若DE︰EC=2︰1，求證：△ABF∽△AFE∽△FCE；并計(jì)算BF︰FC；
（2）圖②中若DE︰EC=3︰1，計(jì)算BF︰FC= ；圖③中若DE︰EC=4︰1，計(jì)算BF︰FC= ；
（3）圖④中若DE︰EC=
︰1，猜想BF︰FC= ；并證明你的結(jié)論
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