Question

【題目】閱讀并填空：

尋求某些勾股數的規律：

⑴對于任何一組已知的勾股數都擴大相同的正整數倍后，就得到了一組新的勾股數．例如：，我們把它擴大2倍、3倍，就分別得到和，……若把它擴大11倍，就得到 ，若把它擴大n倍，就得到 ．

⑵對于任意一個大于1的奇數，存在著下列勾股數：

若勾股數為3，4，5，因為，則有；

若勾股數為5，12，13，則有；

若勾股數為7，24，25，則有 ；……

若勾股數為m(m為奇數)，n， ，則有m2= ，用m來表示n＝ ；

當m=17時，則n＝ ，此時勾股數為 ．

⑶對于大于4的偶數：

若勾股數為6，8，10，因為，則有……請找出這些勾股數之間的關系，并用適當的字母表示出它的規律來，并求當偶數為24的勾股數．

Answer 1

【答案】（1），;

（2）72+242=252，n+1，2n+1，，144；（17，144，145）；

（3），，當m=24時，n=143，勾股數為24，143，145.

【解析】

（1）根據已知數據找出規律，由所得的規律即可求解；（2）根據已知數據找出規律，由所得的規律即可求解；（3）由；；；即可得，，再求出m=24時的勾股數即可.

（1）∵32+42=52，把它擴大2倍、3倍，就分別得到62+82=102和92+122=152，…

∴把它擴大11倍，就得到332+442=552，若把它擴大n倍（n為正整數），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2．

故答案為：332+442=552，（3n）2+（4n）2=（5n）2；

（2）∵勾股數為3，4，5，則有；勾股數為5，12，13，則有；

∴勾股數為7，24，25，則有72+242=252；勾股數為m(m為奇數)，n，n+1，則有m2=，用m來表示n＝ ；

∴當m=17時，則n＝144，此時勾股數為17，144，145．

故答案為：72+242=252，n+1，2n+1，，144；（17，144，145）；

（3）∵；；； ……

∴，，

當m=24時，n=143，勾股數為24，143，145.