Question

如圖，在中，以為直徑的交于點，點為的中點，連結交于點，且.

（1）判斷直線與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若的半徑為2,,求的長.

Answer 1

（1）BC與⊙O相切,證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據AC=4，cosB=求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根據∠EAD=∠ACE，∠E=∠E證△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，設EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x²+4x²=16，求出即可．
試題解析:（1）BC與⊙O相切
證明：連接AE，

∵AC是⊙O的直徑
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E為弧AD中點，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC為直徑，
∴BC是⊙O的切線．
（2）∵⊙O的半為
∴AC=4，
∵cosB=，
∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴，
∴EC=2EA，
設EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=（負數舍去），
即CE=．
考點: 1.切線的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定與性質．