Question

【題目】如圖，是正方形外一點，連接交 于點，若．下列結論：①；②；③ 四邊形的面積是；④點到 直線的距離為；⑤．其中結論正確的個數是（ ）

A.B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易知AE=AF，AB=AD，所以只需證明∠EAB=∠FAD即可用SAS說明△AFD≌△AEB；

②易知∠AEB=∠AFD=135°，則∠BEF=∠AEB-∠AEF=135°-45°=90°，所以EB⊥ED；

③運用勾股定理求出EF和BE的長，根據三角形面積計算公式得出△AEF和△BEF的面積即可得到結論，

④在Rt△BEP中利用勾股定理求出，過點作，垂足為，得等腰直角三角形，根據勾股定理求得點到直線的距離為；則④錯誤；

⑤在△AEB中，∠AEB=135°，AE=2，BE=，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2=BH2+AH2即可

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°．

∴∠DAF+∠BAF=90°．

又∠EAB+∠BAF=90°，

∴∠EAB=∠DAF．

又AE=AF，

∴△AFD≌△AEB（SAS）．

所以①正確；

∵AE=AF，∠EAF=90°，

∴∠AFE=∠AEF=45°，

∴∠AFD=180°-45°=135°．

∵△AFD≌△AEB，

∴∠AEB=∠AFD=135°，

∴∠BEF=135°-45°=90°，

即EB⊥ED，②正確；

在Rt△AEF中，∠EAF=90°，

由勾股定理得，

在Rt△BEF中，∠BEF=90°，

，

四邊形的面積=S△AEF+S△BEF==，結論 ③ 錯誤;

過點作，垂足為，

∵∠AEF=45°，∠BEF=90°

∴∠PEB=45°

∴△BPE是等腰直角三角形，

∵斜邊．

∴BP=

點到直線的距離為．結論 ④ 錯誤;

如圖所示，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點．

∵∠AEB=135°

∴∠AEH=45°

∴Rt△AHE是等腰三角形，

在等腰Rt△AHE中，可得AH=HE=AE=．

所以BH=．

在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2=BH2+AH2，

即AB2=（）2+（）2=，

所以⑤正確．

所以只有①、②和⑤的結論正確．

故選：C．