Question

（2013•德宏州）如圖，已知直線y=x與拋物線y=

1

2

x2交于A、B兩點．
（1）求交點A、B的坐標；
（2）記一次函數y=x的函數值為y₁，二次函數y=

1

2

x2的函數值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
（3）在該拋物線上存在幾個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意可以列出關于x、y的方程組

y=x y= 1 2 x2

，通過解方程組可以求得點A、B的坐標；
（2）根據函數圖象可以直接回答問題；
（3）需要分類討論：以AB為腰和以AB為底的等腰三角形．

解答：解：（1）如圖，∵直線y=x與拋物線y=

1

2

x2交于A、B兩點，
∴

y=x y= 1 2 x2

，
解得，

x=0 y=0

或

x=2 y=2

，
∴A（0，0），B（2，2）；

（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函數y=x的函數值為y₁，二次函數y=

1

2

x2的函數值為y₂．
∴當y₁＞y₂時，根據圖象可知x的取值范圍是：0＜x＜2；

（3）該拋物線上存在4個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），
∴AB=2

2

．
根據題意，可設P（x，

1

2

x²）．
①當PA=PB時，點P是線段AB的中垂線與拋物線的交點．
易求線段AB的中垂線的解析式為y=-x+2，
則

y=-x+2 y= 1 2 x2

，
解得，

x1=- 5 -1 y1=3+ 5

，

x2= 5 -1 y2=3- 5

，
∴P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

）；
②當PA=AB時，根據拋物線的對稱性知，點P與點B關于y軸對稱，即P₃（-2，2）；
③當AB=PB時，點P₄的位置如圖所示．
綜上所述，符號條件的點P有4個，其中P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

），P₃（-2，2）．

點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數法求一次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，坐標與圖形的性質以及等腰三角形的性質．解題時，利用了“分類討論”和“數形結合”的數學思想．