Question

如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過三點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點為M，又正比例函數y=kx的圖象于二次函數相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點．
（1）求該二次函數的解析式，并求函數頂點M的坐標；
（2）已知點E（2，3），且二次函數的函數值大于正比例函數時，試根據函數圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）0＜k＜2時，求四邊形PCMB的面積s的最小值．
【參考公式：已知兩點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則線段DE的中點坐標為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)】

Answer 1

分析：（1）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過三點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函數解析式，并確定頂點坐標；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函數解析式，聯立正比例函數解析式和拋物線解析式，可得D點坐標，根據圖象求出符合條件的x的范圍；
（3）求直線與拋物線的交點D，E的坐標，根據中點坐標公式求出P點坐標，利用割補法表示四邊形PCMB的面積，然后求最小值．

解答：解：（1）由y=ax²+bx+c，則得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故函數解析式是：y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，
點M（1，4）．

（2）由點E（2，3）在正比例函數y=kx的圖象上得，3=2k，得k=

3

2

，
故y=

3

2

x，
由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
解得D點坐標為（-

3

2

，-

9

4

），
由圖象可知，當二次函數的函數值大于正比例函數時，自變量x的取值范圍是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y=kx y=-x2+2x+3

，
解得，點D、E坐標為D（

2-k- k2-4k+16

2

，

2-k- k2-4k+16

2

•k）、
E（

2-k+ k2-4k+16

2

，

2-k+ k2-4k+16

2

•k），
則點P坐標為P（

2-k

2

，

2-k

2

•k）由0＜k＜2，知點P在第一象限．
由點B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四邊形COBM}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4=

15

2

，
則S_{四邊形PCMB}=

15

2

-S△OPC-S△OPB=

15

2

-

1

2

×3×

2-k

2

-

1

2

×3×

2-k

2

•k，
整理，配方得S_{四邊形PCMB}=

3

4

(k-

1

2

)2+

93

16

．
故當k=

1

2

時，四邊形PCMB的面積值最小，最小值是

93

16

．

點評：本題考查了二次函數解析式的求法，學會用兩個函數交點橫坐標表示兩個函數值的大小關系，并對二次函數進行運用．