Question

【題目】在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠AEC=90°．點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

（1）當t= 時，四邊形ABQP成為矩形？

（2）當t= 時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或4；（3）四邊形PBQD不能成為菱形

【解析】

試題分析：（1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；

（2）由（1）可求得點P、Q與點A、B為頂點的四邊形為平行四邊形；然后由當PD=CQ時，CDPQ是平行四邊形，求得t的值；

（3）由PD∥BQ，當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間t的值，再代入求BP，發現BP≠PD，判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設Q點的速度改變為vcm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據PD=BQ=BP列出關于v、t的方程組，解方程組即可求出點Q的速度．

解：（1）如圖1，∵∠B=90°，AP∥BQ，

∴當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，

此時有t=22﹣3t，解得t=．

∴當t=時，四邊形ABQP成為矩形；

故答案為：；

（2）如圖1，當t=時，四邊形ABQP成為矩形，

如圖2，當PD∥CQ時，四邊形CDPQ是平行四邊形，

則16﹣t=3t，

解得：t=4，

∴當t=或4時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形；

故答案為：或4；

（3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形．

由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，

解得：t=3，

當t=3時，PD=BQ=13，BP====≠13，

∴四邊形PBQD不能成為菱形；

如果Q點的速度改變為vcm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，

由題意，得，解得．

故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形．