Question

【題目】如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求弦BD的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四邊形ABDC為平行四邊形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC

又∵OC是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴BE=DE，

∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，

∴BE=OBcos30°=3 ，

∴BD=2BE=6

（3）解：易證△OEB≌△CED，

∴S陰影=S扇形BOC

∴S陰影= =6π．

答：陰影部分的面積是6π

【解析】（1）連接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四邊形ABDC為平行四邊形，則∠A=∠D=30°，由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由內角和定理可求∠OCA=90°，證明切線；（2）利用（1）中的切線的性質和垂徑定理以及解直角三角形來求BD的長度；（3）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉化為求扇形OBC的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的推論的相關知識，掌握推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．