Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為2，是邊上的動點，交CD于F，垂足為G，連接，下列說法：①;②;③點G運動的路徑長為；④CG的最小值為；其中正確的是____________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

根據正方形對角線的性質可得出當E移動到與C重合時，F點和D點重合，此時G點為AC中點，故①錯誤；求得∠BAE=∠CBF，根據正方形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據全等三角形對應角相等可得AE=BF，判斷出②正確；根據題意，G點的軌跡是以AB中點O為圓心，AO為半徑的圓弧，然后求出弧的長度，判斷出③錯誤；由于OC和OG的長度是一定的，因此當O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，根據勾股定理求出最小CG長度．

解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，

∴∠AGB保持90°不變，
∴G點的軌跡是以AB中點O為圓心，AO為半徑的圓弧，
∴當E移動到與C重合時，F點和D點重合，此時G點為AC中點，
∴AG=GE，故①錯誤；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正確；
∵當E點運動到C點時停止，
∴點G運動的軌跡為圓，
圓弧的長=π×2=，故③錯誤；
由于OC和OG的長度是一定的，因此當O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值為OCOG=，故④正確；
綜上所述，正確的結論有②④．

故答案為：②④．