Question

【題目】我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．（注：凸四邊形就是沒有角度數大于180°的四邊形，把四邊形的任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．）

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四邊形中，且，則該四邊形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如圖1，，，，是半徑為1的上按逆時針方向排列的四個動點，與交于點，，當時，求的取值范圍；

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，拋物線（，，為常數，，）與軸交于，兩點（點在點的左側），是拋物線與軸的交點，點的坐標為，記“十字形”的面積為，記，，，的面積分別為，，，．求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式：①；②；③“十字形”的周長為．

Answer 1

【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（）；（3）．

【解析】

（1）①根據十字形的定義結合平行四邊形，矩形，菱形，正方形對角線的性質進行判斷；

②假設當時，根據SSS定理證得，然后結合全等三角形的性質求得，從而根據題意判斷四邊形不是“十字形”；

（2）先根據圓周角定理求得，然后過點作于，于，連接，，結合垂徑定理和勾股定理求得，然后根據題意列不等式組求解即可；

（3）由二次函數的性質求求得，，，，，然后結合三角形面積分別求得，，，，，然后根據題意列等式分別求得a，b的值，從而判斷四邊形是菱形，利用菱形性質求解c，求得拋物線解析式．

解：（1）①∵菱形，正方形的對角線互相垂直，

∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四邊形，矩形的對角線不一定垂直，

∴平行四邊形，矩形不是“十字形”，

故答案為：菱形，正方形；

②如圖，

當時，在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴當時，四邊形不是“十字形”，

故答案為：不是；

（2）∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

如圖1，過點作于，于，連接，，

∴，，，，，

四邊形是矩形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（）；

（3）由題意得，，，，，

∵，，

∴，，，，，，

∴，，

，

，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，，，

∴四邊形是菱形，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴或（舍），

即：．