Question

【題目】如圖，邊長為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點(diǎn)，一束光線自P0發(fā)出射到AC上的點(diǎn)P1后，依次反射到AB、BC上的點(diǎn)P2和P3（反射角等于入射角）．

（1）若∠P2P3B=45°，CP1=；
（2）若 ＜BP3＜ ，則P1C長的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2） ＜P1C＜
【解析】解：（1）過P0作P0H⊥AC于H，
∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P3B，
∴∠CP1P0=∠P2P3B=45°，
∴P0H=P1H，
∵P0是BC邊的中點(diǎn)，
∴CP0=1，
∴CH= ，P0H=P1H= ，
∴CP1= + = ；
所以答案是： ；（2）∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴ = = ，
設(shè)P1C=x，P2A=y，則P1A=2﹣x，P2B=2﹣y．
∴ = ，
∴ ，
∴x= （2+P3B），
又∵ ＜BP3＜ ，
∴ ＜x＜ ，
即P1C長的取值范圍是： ＜P1C＜ ，
所以答案是： ＜P1C＜ ．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．