Question

如圖所示，矩形AOBC在直角坐標系中，O為原點，A在x軸上，B在y軸上，直線AB函數關系式為，M是OB上的一點，若將梯形AMBC沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點B′處，C的對應點為C′．
（1）求出B′和M的坐標；
（2）求直線A C′的函數關系式；
（3）若⊙P的圓心P是直線AM上的一個動點，且⊙P與直線AB、x軸、y軸都相切，試求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）直線AB：y=-x+8中，令x=0，得到y=8，即B（0，8）；令y=0，得到x=6，即A（6，0），
由折疊可得：AB=AB′==10，
∴OB′=AB′-OA=10-6=4，即B′（-4，0），
在Rt△B′OM中，B′M=BM，OM+BM=8，
設B′M=BM=x，則有OM=8-x，
根據勾股定理得：B′M²=OB′²+OM²，即x²=16+（8-x）²，
解得：x=5，
∴OM=8-5=3，即M（0，3）；

（2）設直線B′M解析式為y=kx+b，
將B′（-4，0）和M（0，3）代入得：，
解得：，
∴直線B′M解析式為y=x+3，
∵AC′∥B′M，
∴直線AC′解析式為y=x+m，
將A（6，0）代入得：m=-，
則直線AC′解析式為y=x-；

（3）當P在△AOB內部時，由⊙P與直線AB、x軸、y軸都相切，得到P為Rt△AOB的內心，
設P（a，a），內切圓半徑r=a==2，此時P（2，2）；
當P位于第二象限時，設P（-b，b）（b＞0），⊙P半徑為b，
根據題意得：P到直線AB：4x+3y-24=0的距離d=b，即=b，
整理得：（b+24）²=25b²，即b²-2b-24=0，
分解因式得：（b-6）（b+4）=0，
解得：b=6或b=-4（舍去），
此時P（-6，6），
綜上，滿足題意P的坐標為（2，2）或（-6，6）．
分析：（1）對于直線AB解析式，令x=0與y=0，分別求出y與x的值，確定出A與B坐標，由折疊得AB=AB′，由AB′-OA求出OB′的值，確定出B′的坐標，在Rt△B′OM中，B′M=BM，OM+BM=8，設B′M=BM=x，則有OM=8-x，根據勾股定理求出x的值，確定出OM長，即可求出M坐標；
（2）設直線B′M解析式為y=kx+b，將B′與M坐標代入求出k與b的值，確定出直線B′M解析式，由B′M與AC′平行，得到斜率相等，設出直線AC′解析式為y=x+m，將A坐標代入求出m的值，即可確定出直線AC′解析式；
（3）當P在△AOB內部時，由⊙P與直線AB、x軸、y軸都相切，得到P為Rt△AOB的內心，求出直角三角形的內切圓半徑，即可確定出P的坐標；當P位于第二象限時，設P（-b，b）（b＞0），⊙P半徑為b，利用點到直線的距離公式列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，即可確定出P坐標．
點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法求一次函數解析式，勾股定理，折疊的性質，點到直線的距離公式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．