Question

【題目】拋物線經過點O（0，0）與點A（4，0），頂點為點P，且最小值為-2．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點O作PA的平行線交拋物線對稱軸于點M，交拋物線于另一點N，求ON的長；

（3）拋物線上是否存在一個點E，過點E作x軸的垂線，垂足為點F，使得△EFO∽△AMN，若存在，試求出點E的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為，（或）；（2）；（3）拋物線上存在點E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點共有2個，分別是（，）和（，）．

【解析】

（1）由點O（0，0）與點A（4，0）的縱坐標相等，可知點O、A是拋物線上的一對對稱點，所以對稱軸為直線x=2，又因為最小值是-2，所以頂點為（2，-2），利用頂點式即可用待定系數法求解；

（2）設拋物線對稱軸交軸于點D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依據平行線的性質得到=45°，依據等腰直角三角形兩直角邊的關系可得到=，解出即可得到點N的坐標，再運用勾股定理求出ON的長度；

（3）先運用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，運用相似三角形的性質得到EF：FO的值，設E（，），分點E在第一象限、第二或四象限討論，依據EF：FO=1

:2列出關于m的方程解出即可.

解：（1）∵拋物線經過點O（0，0）與點A（4，0），

∴對稱軸為直線x=2，

又∵頂點為點P，且最小值為-2,，

∴頂點P（2，-2）,

∴設拋物線的表達式為

將O（0，0）坐標代入，解得

∴拋物線的表達式為，即；

（2）設拋物線對稱軸交軸于點D，

∵頂點P坐標為（2，-2），

∴點D坐標為（2，0）

又∵A（4，0），

∴△ADP是以為直角的等腰直角三角形，=45°

又∵ON∥PA ，

∴=45°

∴若設點N的坐標為（,）則=

解得，

∴點N的坐標為（，）

∴

（3）拋物線上存在一個點E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：

連接PO、AM，

∵=45°，=90°,

∴，

又∵由點D坐標為（2，0），得OD=2，

∴，

又∵=90°,由A（4，0），D（2，0）得AD=2，

∴,

同理可得,

∴,

∴AM：MN=： =1：2

∵△EFO∽△AMN

∴EF：FO=AM：MN=1：2

設點E的坐標為（，）（其中），

①當點E在第一象限時，，

解得，此時點E的坐標為（，），

②當點E在第二象限或第四象限時，，

解得，此時點E的坐標為（，）

綜上所述，拋物線上存在一個點E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點共有2個，分別是（，）和（，）．