Question

【題目】如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1，它的六條對角線又圍成一個正六邊形A2B2C2D2E2F2 ， 如此繼續(xù)下去，則正六邊形A4B4C4D4E4F4的面積是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由正六邊形的性質(zhì)得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2 ，
∴B1B2= A1B1= ，
∴A2B2= A1B2=B1B2= ，
∵正六邊形A1B1C1D1E1F1∽正六邊形A2B2C2D2E2F2 ，
∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的面積：正六邊形A1B1C1D1E1F1的面積=（ ）2= ，
∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的面積=6× ×1× = ，
∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的面積= × = ，
同理：正六邊形A4B4C4D4E4F4的面積=（ ）3× = ；
故答案為： ．
由正六邊形的性質(zhì)得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2 ， 利用銳角三角函數(shù)的定義求出B1B2的長，根據(jù)A2B2=B1B2 ， 得出A2B2的長，再根據(jù)正六邊形A1B1C1D1E1F1∽正六邊形A2B2C2D2E2F2 ， 得出兩個正六邊形的面積之比，再求出正六邊形A1B1C1D1E1F1的面積，就可得出正六邊形A2B2C2D2E2F2的面積，根據(jù)其規(guī)律可求出正六邊形A4B4C4D4E4F4的面積,。