Question

【題目】定義：在△ABC中，點D，E，F分別是邊AB，BC，CA上的動點，若△DEF∽△ABC（點D、E、F的對應點分別為點A、B、C），則稱△DEF是△ABC的子三角形，如圖．

（1）已知：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是邊AB，BC，CA上動點，且AD=BE=CF．

求證：△DEF是△ABC的子三角形．

（2）已知：如圖2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE=，求CF和AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）只要證明△DAF≌△EBD≌△FCE，可得DE=EF=DF，推出△DEF是等邊三角形，推出∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，推出△DEF∽△ABC．可得△DEF是△ABC的子三角形；

（2）如圖2中，作EH⊥AB于H．首先證明△DEF是等腰直角三角形，由△DEH≌△DFA，推出AD=HE，由△BEH是等腰直角三角形，推出HE=×=1，推出AD=1，由△BDE∽△CEF，可得，由此即可求出CF.

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，

∵AD=BE=CF，

∴AF=BD=CE，

∴△DAF≌△EBD≌△FCE，

∴DE=EF=DF，

∴△DEF是等邊三角形，

∴∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，

∴△DEF∽△ABC．

∴△DEF是△ABC的子三角形．

（2）如圖2中，作EH⊥AB于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵△DEF是△ABC的子三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∴DE=DF，∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠AFD=90°，∠ADF+∠EDH=90°，

∴∠EDH=∠AFD，

∵∠DHE=∠A=90°，

∴△DEH≌△DFA，

∴AD=HE，

∵△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=×=1，

∴AD=1，

∵∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BDE∽△CEF，

∴，

∴CF=2．