Question

【題目】在中，，為邊上一動點（點與點不重合），聯結，過點作交邊于點．

（1）如圖，當時，求的長；

（2）設，求關于的函數解析式并寫出函數定義域；

（3）把沿直線翻折得，聯結，當是等腰三角形時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過E作EM⊥AB于M，構建“一線三垂直”，即證△ACD∽△MDE,利用相似三角形對應邊成比例列比例式，再結合等腰三角形性質求解；

（2）作EN⊥AB于N，用三角函數將線段EN，BN用y表示，再根據△ACD∽△NDE列出比例式，將比例式變形求解；

（3）作BH⊥AB,交AB或AB延長線于點H,作BG⊥AC，交CA延長線于G，構建直角三角形，先結合Rt△AGB和Rt△CGB，利用勾股定理求出AG，GB長，再結合Rt△ABH和Rt△DBH，利用勾股定理列含x的方程，即可求解.

解：（1）如圖，過E作EM⊥AB，垂足為M,

在Rt△CAB中，AC=3，AB=4，∴tanB= ,

∵ED=EB,

∴DM=BM,

設AD=x,則DM=BM= ,

∴EM= ,

∵∠CDE=∠A=∠EMD=90°,

∴∠EDM+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,

∴∠ACD=EDM,

∴△ACD∽△MDE,

∴ ,

∴ ,

∴ ，（不符合題意，舍去）.

即.

（2）如圖，過E作EN⊥AB，垂足為N,

在Rt△CAB中，AC=3，AB=4，由勾股定理得BC=5,

∴sinB= ,cosB= ,tanB= ,

∴EN= ,BN=,

∴DN=

∵∠CDE=∠A=∠END=90°,

∴∠EDN+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,

∴∠ACD=EDN,

∴△ACD∽△NDE,

∴ ,

∴ ,

∴

（3）如圖，過B作BH⊥AB,交AB或AB延長線于點H,作BG⊥AC，交CA延長線于G，

由折疊可得CB=CB=5，BD=BD=x，

∵是等腰三角形,

∴AC=AB=3，

設AG=m，BG=n,由勾股定理得，

m2+n2=32，(m+3)2+n2=52，

解得，m= ，n= ,

∴BH=，AH=,

第一種情況：在Rt△BHD中，由勾股定理得，

解得，x=

即AD=；

第二種情況：在Rt△BHD中，由勾股定理得，

解得，x=

即AD=；

∴AD=.