Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足為D.

（1）求證：∠BAE=∠CAD.

（2）若⊙O的半徑為4，AC=5，CD=2，求CF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圓周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出結論；（2）證明△ABE∽△ADC，得出對應邊成比例，求出BE，由圓周角定理，得出CF=BE=即可．

試題解析：(1)證明：∵AE是O的直徑，

∴∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，

∵AF⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∵∠BEA=∠ACD，

∴∠BAE=∠CAD；

(2)∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，

∴,即，

解得：BE=，

由(1)得：∠BAE=∠CAD，

∴，

∴CF=BE=.