Question

【題目】已知兩個共一個頂點的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．

（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；

（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

（3）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）BM=ME==a（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；

（2）如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；

（3）如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME．

（1）證明：如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴點B為線段AD的中點，

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△ADF的中位線，

∴BM∥CF；

（2）如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，

∴BM=DF．

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2a，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，

∴ME=AG．

∵CG=CF=2a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．

（3）如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，

∴BM=DF，

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，

∴ME=AG，

在△ACG與△DCF中，，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．