Question

已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E,D，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運(yùn)動，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒 ；設(shè)，當(dāng)t 為何值時，s有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）y="-1/4" x²+3/2 x-2（2）1（3）當(dāng)t="2" /3 或t="10/" 7 時，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，證明見解析

解：（1）由拋物線y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面積為2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點(diǎn)C（0，-2），
a="-1/4" ，
∴拋物線的解析式為y="-1/4" (x-2)(x-4)="-1/4" x2+3/2 x-2，
答：拋物線的解析式為y="-1/4" x²+3/2 x-2．
（2）解：由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：ED /OB ="CE" /CO ，
即ED/4 ="CE/2" ，
∴ED=2CE=2t，
①1/ED +1/OP ="1/2t" +1/4-2t ="4/2t(4-2t)" ="1/-t2+2t" ，
∵當(dāng)t=1時，-t2+2t有最大值1，
∴當(dāng)t=1時1 ED +1 OP 的值最小，最小值為1．
答：當(dāng)t為1時，1/ED +1/OP 的值最小，最小值是1．
②解：由題意可求：CD=" 5" t，CB="2" 5 ，
∴BD="2" 5 - 5 t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況：
當(dāng)BP AB ="BD" BC 時，即2t 2 ="2" 5 - 5 t 2 5 ，
解得：t="2" 3 ，
當(dāng)BP BD ="BC" BA 時，即2t 2 5 - 5 t ="2" 5  2 ，
解得：t="10" 7 ，
當(dāng)t="2/3" 或t="10/7" 時，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，t的值是2/3 或10/7 ．
（1）求出C的坐標(biāo)，得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求出a即可；
（2）①由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB ="CE" CO ，求出ED=2CE=2t，根據(jù)1 ED +1 OP ="1" 2t +1 4-2t ="4" 2t(4-2t) ="1" -t2+2t ，求出即可；
②以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況：BP AB ="BD" BC 和BP BD ="BC" BA 代入求出即可．