Question

（2012•通州區一模）已知如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，若△ABC的邊長為1，則△BAE的面積是

3

4

．
四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的邊長為4，則△FAC的面積是

8

．
…
如果兩個正多邊形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）邊形，正多邊形ABCDE …的邊長是2a，則△KCA的面積是

2a2sin

360°

n

或（4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

）

．（結果用含有a、n的代數式表示）

Answer 1

分析：先根據平行線的判定定理得出AB∥CE，再過點C作CF⊥AB于點F，利用銳角三角函數的定義即可求出CF的長，由三角形的面積公式即可求出△BAE的面積；利用三角形的面積公式即可得出△BAE的面積；連接BF，過點B作BM⊥AC，可先判斷出AC∥BF，故可得出BM即為△FAC的高，再根據三角形的面積公式即可得出結論；同以上結論，當兩個正多邊形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）邊形，正多邊形ABCDE …的邊長是2a可得出△ABC與△KCA同底等高，過點B作BN⊥AC于點N，由銳角三角函數的定義可求出BN及AC的長，利用三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：如圖1，
∵△ABC與△CDE均為等邊三角形，
∴∠DCE=∠BAC=60°，
∴AB∥CE，
過點C作CF⊥AB于點F，則CF即為△BAE的高，
∴△ABC與△BAE同底等高，
∴S_△BAE=S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；
如圖2，連接BF，過點B作BM⊥AC于點M，同理可證AC∥BF，故△FAC與△ABC同底等高，
∴S_△FAC=S_△ABC=

1

2

×4×4=8；
如圖3，
正多邊形ABCDE…中，過點B作BN⊥AC于點N，同上可得S_△KCA=S_△ABC，
∵多邊形是正多邊形，BN⊥AC，
∴∠NBC=

90°×(n-2)

n

，AC=2NC=2AN，
∵BC=2a，
∴在Rt△BCN中，NC=BC•sin

90°×(n-2)

n

，BN=BC×cos

90°×(n-2)

n

，
∴S_△KCA=S_△ABC=

1

2

AC•BN=

1

2

×2×2a×sin

90°×(n-2)

n

×2a×cos

90°×(n-2)

n

=4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

=2a2sin

360°

n

．

故答案為：2a2sin

360°

n

或（4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

）

點評：本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出同底等高的三角形，再根據三角形的面積公式求解．