Question

【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，

（1）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．

（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s2（如圖2），則s2=；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為s3，繼續操作下去…，則第10次剪取時，s10=；

（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．

Answer 1

【答案】解：（1）解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1

如圖乙，設MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，

∴，

解得

∴

又∵

∴甲種剪法所得的正方形面積更大．

說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，S正方形OFDE=1．

解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1，

如圖乙，設MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，

∴，

解得，

又∵，即EC＞MN．

∴甲種剪法所得的正方形面積更大．

（2），．

（3）解法1：探索規律可知：

剩余三角形面積和為=

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為2﹣S1=1=S1

第二次剪取后剩余三角形面積和為，

第三次剪取后剩余三角形面積和為，

…

第十次剪取后剩余三角形面積和為．

【解析】略