Question

如圖，已知雙曲線y=

k-3

x

（k為常數）與過原點的直線相交于A、B兩點，第一象限內的點M（點M在A的上方）是雙曲線y=

k-3

x

上的一動點，設直線AM、BM分別與y軸交于P、Q兩點．
（1）若直線AB的解析式為y=

1

6

x，A點的坐標為（a，1），
①求a、k的值；
②當AM=2MP時，求點P的坐標．
（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，試問m-n的值是否為定值？若是求出它的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）①∵A（α，1）在直線 y=

1

6

x上，
∴

1

6

a=1，
解得a=6．
∵A（6，1）在雙曲線 y=

k-3

x

上，
∴

k-3

x

=1，
解得k=9，
∴a，k 的值分別是6，9；

②如圖1，過點A作AE⊥y軸于E，過點M作MF⊥y軸于F，
則MF∥AE，
∴△PMF∽△PAE，
∴

MF

AE

=

PM

PA

，即

MF

6

=

1

3

，
∴MF=2，
∴點M（2，3）．
∵A（6，1）、M（2，3），
∴直線AM的解析式為 y=-

1

2

x+4．
∴點P（0，4）；

（2）答m-n=-2．
如圖2，設點A的橫坐標為b，點M的橫坐標為t，則點B的橫坐標為-b；
過點B作BC⊥y 軸于C，過點M作MD⊥AE于D．
∵MD∥y 軸，
∴△AMD∽△APE，
∴

AM

AP

=

AD

AE

，即

m

m+1

=

b-t

b

，得m=

b-t

t

①
∵MF∥BC，
∴△MFQ∽△BCQ，
∴

FM

BC

=

MQ

BQ

，即

t

b

=

1

n-1

，得n=

b+t

t

②
∴由①-②得，m-n=

b-t

t

-

b+t

t

=-2．