Question

【題目】如圖，在△ABC中，G為邊AB中點，∠AGC＝α．Q為線段BG上一動點（不與點B重合），點P在中線CG上，連接PA，PQ，記BQ＝kGP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①當BQ＝BG時，求∠PAG的度數．

②寫出線段PA、PQ的數量關系，并說明理由．

（2）當α＝45°時．探究是否存在常數k，使得②中的結論仍成立？若存在，寫出k的值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①30°；②PA＝PQ，見解析；（2）存在，k＝，理由見解析

【解析】

（1）①在GC上取點M，使得GM＝GA，連接AM，再說明△AGM是等邊三角形，進而得到AG=BG=2BQ，從而判定GP=MP，即AP平分∠MAG即可解答；②先說明△PGN是等邊三角形，進而得到GQ=AN，從而證明△ANB≌△QGP即可解答；

（2）先說明PH=PG，∠PHA=∠PGQ=135°，得出HG=BQ，再判斷出AH=GQ,進而得出△AHP≌△QGP即可．

解：（1）①如圖1，在GC上取點M，使得GM＝GA，連接AM，

∵∠AGM＝α＝60°，

∴△AGM為等邊三角形，

∴AG＝GM，∠MAG＝60°，

∵G為AB的中點，Q為GB的中點，

∴AG＝BG＝2BQ，

∵k＝1，

∴BQ＝GP，

∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，

∴GP＝MP，

∴AP平分∠MAG，

∴∠PAG＝∠PAM＝30°；

②如圖2，在AG上取點N，連接PN，使得PN＝PG，

∵∠PGN＝60°，

∴△PGN是等邊三角形，

∵BG＝GA，

∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，

∴GQ＝AN，

∵∠ANP＝∠QGP，

∴△ANB≌△QGP（SAS），

∴PA＝PQ；

（2）存在，k＝，使得②中的結論成立；

證明：如圖3，過點P作PG的垂線交AG于點H．

∵∠AGC＝45°，

∴∠PHG＝45°，

∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，

∵，，

∴HG＝BQ，

∵AG＝BG，

∴AH＝GQ．

∴△AHP≌△QGP（SAS）

∴PA＝PQ．