Question

【題目】如圖1，點A是x軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點，連結AC，BC，CD，設點A的橫坐標為t．

（1）當t=2時，求CF的長；
（2）①當t為何值時，點C落在線段BD上；
②設△BCE的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（3）如圖2，當點C與點E重合時，將△CDF沿x軸左右平移得到△C′D′F′，再將A，B，C′，D′為頂點的四邊形沿C′F′剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的點C′的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，易證Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF= OA= t．

當t=2時，CF=1

（2）

解：①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ，

∴AF= OB=2，

∴FD=AF=2，．

∵點C落在線段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴ ，即 ，

解得t= ﹣2或t=﹣ ﹣2（小于0，舍去）

∴當t= ﹣2時，點C落在線段BD上；

②當0＜t＜8時，如題圖1所示：

S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=- t2+ t+4；

當t＞8時，如答圖1所示：

S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4

（3）

解：符合條件的點C的坐標為：（12，4），（8，4）或（2，4）．

理由如下：

在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種：

方法一：如答圖2所示，當F′C′=AF′時，點F′的坐標為（12，0），

根據△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H為拼成的三角形，此時C′的坐標為（12，4）；

方法二：如答圖3所示，當點F′與點A重合時，點F′的坐標為（8，0），

根據△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′為拼成的三角形，此時C′的坐標為（8，4）；

方法三：當BC′=F′D′時，點F′的坐標為（2，0），

根據△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′為拼成的三角形，此時C′的坐標為（2，4）

【解析】（1）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF= OA= t，由此求出CF的值；（2）①由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長度；若點C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據相似比例式列方程求出t的值；
②有兩種情況，需要分類討論：當0＜t≤8時，如題圖1所示；當t＞8時，如答圖1所示．（3）本問涉及圖形的剪拼．在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種，需要分類討論，分別如答圖2﹣4所示．
【考點精析】本題主要考查了相似圖形和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．