Question

【題目】如圖1，二次函數y＝ax2﹣3ax+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點c直線y＝﹣x+4經過點B、C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點A的直線y＝kx+k交拋物線于點M，交直線BC于點N，連接AC，當直線y＝kx+k平分△ABC的面積，求點M的坐標；

（3）如圖2，把拋物線位于x軸上方的圖象沿x軸翻折，當直線y＝kx+k與翻折后的整個圖象只有三個交點時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）M(，)；（3）k的取值范圍是﹣5＜k＜0．

【解析】

（1）由直線y=-x+4知：點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），則二次函數表達式為：y=ax2-3ax+4，將點A的坐標代入上式，即可求解；

（2）求出A的坐標，過點N作NG⊥AB于G，則根據直線y＝kx+k平分△ABC的面積有 ，即可求出N的坐標,從而求出直線AM的解析式,再與拋物線解析式聯立方程即可求M的坐標；

（3）根據翻折的現在知翻折部分的函數表達式是 ，根據翻折的部分圖象只有一個交點，則聯立方程后判別式為零即可.

（1）由直線y＝﹣x+4知，點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），

把點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），

代入y＝ax2﹣3ax+c，得解得

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4

（2）由y＝﹣x2+3x+4，求得A（﹣1，0）

過點N作NG⊥AB于G，

∵直線y＝kx+k平分△ABC的面積，

∴，

∴當x＝2時，2＝﹣x+4，∴x＝2

∴N（2，2）

把N（2，2）代入y＝kx+k，得，

∴直線AM的解析式為，

由解得

∴

（3）翻折部分的函數表達式是

當直線y＝kx+k與翻折后的圖象只有一個交點時，

由，得x2﹣3x﹣4＝kx+k，

整理，得x2﹣（k+3）x﹣（k+4）＝0

△＝[﹣（k+3）]2﹣4×[﹣（k+4）]＝k2+10k+25＝0

解得k1＝k2＝﹣5

∴當直線y＝kx+k與翻折后的整個圖象只有三個交點時，k的取值范圍是﹣5＜k＜0．