Question

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．令m=

S四邊形CFGH

S四邊形CMNO

，則m=

1

；又若CO=1，CE=

1

3

，Q為AE上一點且QF=

2

3

，拋物線y=mx²+bx+c經過C、Q兩點，則拋物線與邊AB的交點坐標是

（

2 3

3

，

1

3

）

．

Answer 1

分析：求出CM=OE-CE，求出四邊形CFGH的面積是CO×（OE-CE），求出四邊形CMNO的面積是（OE-CE）×CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等邊三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，過Q作QD⊥OE于D，求出Q坐標，代入拋物線求出拋物線的解析式，把x=

2 3

3

代入拋物線即可求出y，即得出答案．

解答：解：∵沿AE折疊，O和F重合，
∴OE=EF，
∵在Rt△CEF中，EF＞CE，
即OE＞CE，
∴CM=|CE-EO|=OE-CE，
∵S_{四邊形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO×（EO-EC），
S_{四邊形CMNO}=CM×CO=（OE-CE）×OC，
∴m=

S四邊形CFGH

S四邊形CMNO

=1；
∵CO=1，CE=

1

3

，QF=

2

3

，
∴EF=EO=

2

3

=QF，C（0，1），
∴sin∠EFC=

CE

EF

=

1

2

，
∴∠EFC=30°，∠CEF=60°，
∴∠FEA=

1

2

×（180°-60°）=60°，
∵EF=QF，
∴△EFQ是等邊三角形，
∴EQ=

2

3

，
過Q作QD⊥OE于D，
ED=

1

2

EQ=

1

3

．
∵由勾股定理得：DQ=

3

3

，
∴OD=

2

3

-

1

3

=

1

3

，
即Q的坐標是（

3

3

，

1

3

），
∵拋物線過C、Q，m=1代入得：

1 3 =( 3 3 )2+ 3 3 b+c 1=c

，
解得：b=-

3

，c=1，
∴拋物線的解析式是：y=x²-

3

x+1，
AO=

3

EO=

2 3

3

，
∵把x=

2 3

3

代入拋物線得：y=

1

3

，
∴拋物線與AB的交點坐標是（

2 3

3

，

1

3

），
故答案為：1，(

2 3

3

，

1

3

)．

點評：本題考查了勾股定理，用待定系數法求二次函數的解析式，等邊三角形的性質和判定，軸對稱的性質，含30度角的直角三角形性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．